弧矢算术

    明　顾应祥　撰

    圆径与截矢求截?

    术曰半径为?半径减矢为股各自乗相减余为勾算平方开之得勾即半截?

    又曰以矢减径以矢乗之即半截?算

    圆径十寸从旁截一弧矢阔一寸问截?

    答曰六寸

    术曰半径自之得二十五　半径减矢自之得一十六寸相减余九平方开之得三倍之即截?

    又曰圆径自之得一百为?算圆径减倍矢自之得六十四为股算相减余三十六为勾算平方开之得全?

    圆径十三步截矢阔四歩问截?

    答曰十二歩

    术曰半径算四十二步【二五】减矢半径算六歩【二五】相减余三十六歩为勾算

    又曰全径算一百六十九　减倍矢径算二十五相减余一百四十四平方开之得全截?

    圆径九十歩截矢九歩问截?

    答曰五十四步

    术同

    圆材径二尺五寸锯板欲厚七寸问阔几何

    答曰板阔二尺四寸

    术曰圆径为?自之得六十二尺五寸　板厚为勾自之得四尺九寸相减得五十七尺六寸为股算平方开之

    【阙】

    商得

    一寸　置一于左上为法　置一乗上亷仍得一十四寸　置一隅因得五以减下亷余三十五寸　置一自之以乗下亷仍得三十五寸并上亷得四十九为下法

    圆径九十歩从旁截积二百八十三歩半问截矢答曰矢九歩

    术曰倍积自之得三十二万一千四百八十九歩为正实　四因积得一千一百三十四为上亷　四因径得三百六十为下亷　五为负隅　商得九　置一于左上为法　置一乗上亷得一万○二百○六置一隅因得四十五以减下亷余三百一十五　置一自之以乗余下亷得二万五千五百一十五并上亷共二万五千七百二十一为下法

    圆径九十歩从旁截积八百一十歩问矢

    荅曰矢一十八歩

    术曰倍积自之得二百六十二万四千四百爲正实四因截积得三千二百四十为从上亷　四因圆

    径得三百六十为从下亷　五爲负隅　初商一十置一于左上为法　置一乗上亷得三万二千四

    百　置一以隅因之得五十以减从下亷余三百一十　置一自之以乗余下亷得三万一千　并上亷共六万三千四百为下法与上法相乗除实六十三万四千　余实一百九十九万○四百未尽　倍上亷得六万四千八百初商自之三因得三百为下亷方法　初商三之得三十为下亷亷法　初商自乗再乗隅因得五千为下亷减隅　次商八　置一于左上为法　置一乗上亷得二万五千九百二十并倍上亷共九万○七百二十　置一并入初商得一十八以隅因之得九十以减从下亷余二百七十以方法乗之得八万一千　置一乗亷法得二百四十以乗余下亷得六万四千八百　置一自之得六十四以乗余下亷得一万七千二百八十减去减隅五千止存一万二千二百八十　下亷方亷隅共一十五万八千○八十并上亷共二十四万八千八百为下法与上法相乗除实尽

    又术次商八　置一于左上为法　倍初商加次商得二十八以乗上亷得九万○七百二十　置一隅因得四十以减余下亷止存二百七十倍初商加次商并初次商因之得五百○四加初商自之一百共六百○四以乗二百七十得一十六万三千○八十以初商自乗再乗隅因得五千减之止存一十五

    万八千○八十并上亷共二十四万八千八百为下法

    又为添积开三乗方法

    术曰倍积自之得二百六十二万四千四百为正实四因截积得三千二百四十为上亷　四因圆径

    得三百六十为下亷　五为负隅

    初商一十　置一于左上为法　置一自之又自之得一万为三乗方面以隅因之得五万为益实加入正实得二百六十七万四千四百为通实　置一乗上亷得三万二千四百　置一自之以乗下亷得三万六千并上亷共六万八千四百为下法与上法相乗除实六十八万四千　余实一百九十九万○四百未尽为次商正实

    次商八　置一于左上为法　置一加初商自之又自之得一十○万四千九百七十六为三乗方面以隅法因之得五十二万四千八百八十内减初益实五万余四十七万四千八百八十为益实加入次正实共二百四十六万五千二百八十为通实　倍初商加次商得二十八以乗上亷得九万○七百二十倍初商加次商得二十八并初次商一十八相因

    加初商自乗共六百○四以乗下亷得二十一万七千四百四十　并上亷共三十○万八千一百六十与上法相乗除实尽

    圆径八十九歩从旁截积一千三百一十二歩半问截矢

    答曰矢二十五歩

    不用倍积术曰积自之得一百七十二万二千六百五十六歩【二五】　截积一千三百一十二歩半为上亷径八十九歩为下亷以一歩二分五厘为负隅初商二十　置一于左上为法　置一乗上亷得二万六千二百五十　置一以隅因之得二十五以减下亷余六十四　置一自之以乗余下亷得二万五千六百并上亷得五万一千八百五十为下法与上法相乗除实一百○三万七千　余实六十八万五千六百五十六歩二五未尽

    次商五　置一于左上为法　置一以隅因之得六歩二分五厘以减余下亷余五十七歩七分五厘倍初商加次商得四十五以乗上亷得五万九千

    ○六十二半　倍初商加次商并初次商因之得一千一百二十五加初商自之四百共一千五百二十五以乗余下亷得八万八千○六十八歩七五　内减初商自乗再乗隅因一万　止存七万八千○六十八歩七五并上亷共一十三万七千一百三十一歩二五　与上法相乗除实尽

    解曰弧矢状类勾股勾股得直方之半故倍其积以股除之即得勾弧背曲倍积则长一?而又一矢以矢乗积倍之恰得一?一矢之数因未知矢故以积自乗为实约矢一度乗积以为上亷两度乗径以为下亷并之为法而后可以得矢用三乗者何也积本平方以积乗积是两度平方矣故用三乗方法开之上亷下亷俱用四因者何也倍积则乗出之数为积者四故上下亷俱四以就之减径者何也径乃圆之全径矢乃截处之勾矢本减径而得故亦减径以求矢五为负隅者何也凡平圆之积得平方四之三在内者七五在外者二五不拘圆之大小毎方一尺该虚隅二寸五分四其矢得四四其虚隅得一合而为五亦升实就法之意如不倍积亷不用四因以一二五为隅法亦通　或不减径作添积三乗方法亦通

    圆径与截积求截?

    术曰倍积以矢除之减矢即?

    又法用矢径求?术

    圆径八十九歩从旁截积一千三百一十二歩半问截?

    答曰?八十歩

    术曰倍积得二千六百二十五歩以求出矢二十五除之得一百○五歩乃一?一矢减矢即?

    又曰倍矢减径余三十九自之得一千五百二十一为勾算全径自之得七千九百二十一为?算相减余六千四百为股算平方开之

    若求弧背以径除矢算即半背?差

    圆径与弧背求矢

    术曰半弧算径算相乗为实径乗径算为从方径算为上亷径背相乗为下亷以上亷减从以隅减下亷三乗方法开之

    平圆径十尺从旁截处弧背八尺八寸问矢

    答曰矢二尺

    术曰半弧背自之得一十九尺三寸六分　径自之得一百尺　相乗得一千九百三十六尺为正实径乗径算得一千尺为从方　径算一百尺为上亷全背乗径得八十八尺为下亷

    约商二尺　置一于左上为法　置一乗上亷得二百尺以减从方余八百尺　置一自之得四以减下亷余八十四尺　又以二乗余下亷得一百六十八尺　并从方共九百六十八尺为下法

    又术商矢减径存八尺以矢乗之得十六平方开之即得半?

    平圆径九十歩旁截边弧背五十五歩八分问矢答曰九歩

    术曰半背算七百七十八歩四一　径算八千一百二算相乗得六百三十○万五千一百二十一为正实　径乗径算得七十二万九千为从方　径算八千一百为上亷　径背相乗得五千○二十二为下亷如前法求之

    平圆径九十歩旁截弧背七十九歩二分问矢

    答曰矢一十八歩

    术曰半弧算一千五百六十八歩一六　径算八千一百　二算相乗得一千二百七十○万二千○九十六为正实　径乗径算得七十二万九千为益从方　径算八千一百为上亷　径背相乗得七千一百二十八为下亷

    初商一十　置一于左上为法　置一乗上亷得八万一千以减从方余六十四万八千　置一自之得一百以减下亷余七千○二十八　置一乗余下亷得七万○二百八十并减余从方共七十一万八千二百八十为下法与上法相乗除实七百一十八万二千八百余实五百五十一万九千二百九十六未尽

    次商八　置一于左次为上法　倍初商加次商得二十八以乗上亷得二十二万六千八百以减益从方余五十○万二千二百为从方　并初次商得一十八自之得三百二十四加初商自之一百为四百二十四以减下亷余六千七百○四　倍初商加次商得二十八因之得一十八万七千七百一十二并入从方共六十八万九千九百一十二为下法与上法相乗除实尽

    解曰径除矢算得半背?差今以弧背求矢故亦用半背算与径算相乗为实以径乗径算为从方而从方内多一矢乗径算之数故以径算为上亷以矢乗而减之然从方得矢之方而未得矢之亷也故又以全背与径相乗为下亷而下亷之中又多一矢自乗之数故又约矢以减之而以余数乗矢为下亷并从方以为法

    假如周天径一百二十一度七十五分二十五秒【厯书中不用秒故因之】

    黄赤道内外弧背二十四度　问矢度

    答曰四度八十四分八十二秒

    术曰半弧背自之得五百七十六度为半弧背算周天径自之得一万四千八百二十三度○六分二十五秒为径算　二算相乗得八百五十三万八千○八十四度为正实　径乗径算得一百八十○万四千七百○七度八十五分九十三秒七五为益从方　以径算为上亷　倍半弧背得四十八度以乗周径得五千八百四十四度为下亷

    初商四度　置一于左上为法　置一乗上亷得五万九千二百九十二度二十五分以减益从方余一百七十四万五千四百一十五度六十○分九十三秒七五置一自之得一十六度以减下亷余五千八百二十八度又以四度因之得二万三千三百一十二度为从亷并从方共一百七十六万八千七百二十七度六十○分九十三秒七五为下法与上法相乗除实七百○七万四千九百一十○度四十三分七十五秒

    余实一百四十六万三千一百七十三度五十六分二十五秒

    次商八十分　置一于左上为法　置一倍初商共八度八十分以乗上亷得一十三万○四百四十三度九十五分以减益从方余一百六十七万四千二百六十四度九十○分九十三秒七五为从方　置一并初商自之得二十三度○四分加初商自之一十六度共三十九度○四分以减下亷余五千八百○四度九十六又以八度八十分因之得五万一千○八十三度六十四分八十秒为从亷　并从方共一百七十二万五千三百四十八度五十五分七十三秒七五为下法与上【阙】

    度九十九分一十八秒五二

    七六又以九度六十九分六十二秒乗之得五万六千二百○八度七十九分二十四秒○二七三一五一二为从亷　并从方共一百七十一万七千一百八十九度二十七分三十一秒六五二三一五一二为下法与上法相乗除实三百四十三度四十三分七十八秒五四六三三○四六三○二四

    余实一百○五度○九分五十五秒五三○○一七六九六九七六不勾一秒之数

    圆径与弧背求截?

    术曰求得矢用矢求?术

    圆径与弧背求截积

    术曰求得矢用矢径求积

    截积与截矢求截?

    术曰倍积减矢算余如矢而一即?

    又曰倍积以矢除之减矢

    圆不知径从旁截积二百八十三歩二分歩之一矢阔九歩问截?

    答曰截?五十四歩

    术曰倍积得五百六十七歩减矢算八十一余四百八十六以矢除之得五十四为?

    圆不知径从旁截积八百一十步矢阔一十八步问截?

    答曰截?长七十二歩

    术同

    截积与截?求截矢

    术曰倍积以?为从方平方开之

    圆不知径从旁截积二百八十三歩二分歩之一截?长五十四步问矢

    答曰九歩

    术曰倍积得五百六十七为实　以五十四为从方约商九　置一于左上为法　置一带从得六十三为下法与上法相乗除实尽

    圆不知径从旁截积八百一十歩?长七十二歩问矢答曰矢一十八歩

    术曰倍积得一千六百二十为实　以七十二为从方

    初商一十　置一于左上为法　置一带从方共八十二为下法与上法相乗除实八百二十　余实八百　倍初商得二十带从方共九十二为方法次商八　置一于左上为法　置一带方法共一百为下法与上法相乗除实尽

    截积与截矢求圆径

    术曰先求出?半之为算如矢而一即矢径差又曰积自乗减矢自乗乗积余为实矢自乗再乗为法除之加虚隅即径

    圆不知径从旁截积六十二歩半矢五歩问径

    术曰积自之得三千九百○六歩二五　矢自之乗积得一千五百六十二步五相减余二千三百四十三步七五为实矢自乗再乗得一百二十五为法除之得一十八步七五矢乗虚隅一步二分五厘得六步二分五厘加入即圆径二十五

    截积与截?求圆径

    术曰先求得矢矢除半?算加矢即径

    圆不知径从旁截积一千三百一十二步半截?长八十步问圆径几何

    答曰圆径八十九步

    术曰先倍积以?为从方平方开之得矢二十五步后用半?自之得一千六百步以矢除之得六十四为矢径差加矢即圆径

    截积与截矢求截弧背【?求弧背同】

    术曰先求得径以除矢算得半背?差

    截矢与?求圆径

    术曰半?自之如矢而一为矢径差

    圆不知径从旁截一弧矢阔九步?长五十四步问圆径

    答曰圆径九十步

    术曰半?自之得七百二十九以矢除之得八十一为矢径差加矢即径

    截矢与?求截弧背

    术曰先求得径以除矢算为半背?差

    截矢与截?求截积

    术曰以矢加?以乗矢得二积

    截?与外周求截矢【外周乃割残之周也】

    术曰?算半?算相乗四而三之为实并?及残周乗半?算为益方倍半?算加?算为从上亷并?及残周为下亷以隅并上亷减从以余从并下亷为法三乗方法开之

    平圆旁割一弧截处?五十四步外残周二百一十四步二分问截矢几何

    答曰矢九步

    术曰?自之得二千九百一十六为?算　半?自之得七百二十九为半?算　二算相乗得二百一十二万五千七百六十四四而三之得一百五十九万四千三百二十三为正实　?并残周共二百六十八步二分以半?算乗之得一十九万五千五百一十七步八分为益方　倍半?算加全?算得四千三百七十四为从上亷　?并残周得二百六十八步二分为下亷一为隅法

    商得九　置一于左上为法　置一乗上亷得三万九千三百六十六为减亷　置一自之为八十一以乗下亷得二万一千七百二十四步二分为益亷置一自乗再乗得七百二十九为隅法并入减亷共四万○○九十五　以减从方余一十五万五千四百二十二步八分并入下亷共一十七万七千一百四十七步为下法

    圆田一段西边被水浸入一弧?长二十步外残周五十三步问矢阔田径田积

    答曰截矢阔五步圆径二十五步　弧背二十二步术曰如积求之得三万为正实　七千三百为益方六百为从上亷七十三为益下亷　一为正隅　三乗方开之得矢阔　矢除半?算加矢得径　倍矢算以径除之得背?差加?即弧背　径自之四而三之得田积

    圆田水浸一弧?长七十二步外有残周一百九十○步八分问矢阔

    答曰矢阔一十八步　弧背七十九步二分

    圆径九十歩　原田二十五畆三分一厘二毫五丝术曰先求矢阔　?算五千一百八十四　半?算一千二百九十六相乗得六百七十一万八千四百六十四步四归三因得五百○三万八千八百四十八为正实　并?及残周共二百六十二步八分以半?算乗之得三十四万○五百八十八步八分为益从方　倍半?算加全?算得七千七百七十六为减上亷　?并残周二百六十二步八分为益下亷

    初商一十　置一于左上为法　置一乗减上亷得七万七千七百六十为减亷　置一自之以乗益下亷得二万六千二百八十为益亷　置一自乗再乗得一千为减隅并入减亷共七万八千七百六十为减从之算以减益方余二十六万一千八百二十八步八分为从方并益亷共二十八万八千一百○八步八分为下法　与上法相乗除实二百八十八万一千○八十八　余实二百一十五万七千七百六十未尽

    二因减上亷得一十五万五千五百二十

    三因益下亷得七万八千八百四十为益亷之方四因隅法得四千为方法

    又以初商三之以乗益下亷得七千八百八十四为益亷之亷　初商自之六因得六百为隅上亷初商四之得四十为隅下亷

    次商八　置一于左上为法　置一乗初减上亷得六万二千二百○八加入前二因上亷得二十一万七千七百二十八为减亷　置一乗益亷之亷得六万三千○七十二步并益亷之方共一十四万一千九百一十二为益亷之算　置一自之以乗初益下亷得一万六千八百一十九步二分并入益亷之算共一十五万八千七百三十一步二分为益亷　置一乗隅上亷得四千八百　置一自之以乗隅下亷得二千五百六十　置一自乗再乗得五百一十二为隅法并方法上下亷隅法共一万一千八百七十二为减隅　并减亷共二十二万九千六百为减从之算以减原从余一十一万○九百八十八步八分加益亷共二十六万九千七百二十为下法与上法相乗除实尽

    矢除半?算得七十二为矢径差加矢即圆径倍矢算以圆径除之得七步二分为?背差加?即弧背　圆径自之四而三得六千○七十五步以畆约之为畆

    解曰求矢者起于?与径今不知径而有残周故以?自乗半?自乗相乗为实方中取圆故四而三之为三乗方实以?并残周与半?算相乗为从方而从方之中又多一?算两半?算及矢自乗再乗之数故以全?算与倍半?算为上亷并求出矢自乗再乗之数以减之却以?并残周为益下亷以求出矢两度乗之并余从以为法盖隅与上亷专主于减从而下亷所以益从也

    ?算为平方以?乗之为立方又以半?算乗是为三乗方

    正实五百○三万八千八百四十八乃三乘方数内下亷该除一百五十三万二千六百四十九步六分从方该除三百五十○万六千一百九十八步四分从方三十四万○五百八十八步八分乃立方之数内上亷减一十三万九千九百六十八隅减五千八百三十二止存一十九万四千七百八十八步八分以矢十八因之以除实

    上亷减从除实用减从开平方法

    从方带上亷一度矢乗之数共三十三万四千七百五十六步八分以十八因之该正实六百○二万五千六百二十二步四分欠二百五十一万九千四百二十四乃上亷减去之数

    初商一十　置一为上法　置一乗上亷得七万七千七百六十以减从方余二十五万六千九百九十六步八分与上法相乗除实二百五十六万九千九百六十八余实九十三万六千二百三十○步四分　倍上防得一十五万五千五百二十为亷法

    次商八　置一为上法　置一乗上亷得六万二千二百○八并亷法共二十一万七千七百二十八以减原从余一十一万七千○二十八步八分为下法与上法相乗除实尽

    从方假作平方形长一十九万四千七百八十八步八分濶一十八步带十八因上亷共长三十三万四千七百五十六步八分　初商十步十因上亷止除七万七千七百六十少减六万二千二百○八步计多除正实六十二万二千○八十　次商濶八步如从方原长该除实一百五十五万八千三百一十○步八分今止余实九十三万六千二百三十○步四分欠六十二万二千○八十正合初商多除之数　次商倍亷法多减七万七千七百六十以八因之其数适合此自然之妙凡用减从者俱如此

    隅减从用减从开三乗方法

    隅立方并从共二十○万○六百二十○步八分以十八因该正实三百六十一万一千一百七十四步四分欠一十○万四千九百七十六乃隅减之数初商一十　置一为上法　置一自乗再乗得一千为方法以... -->>
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